Propriétés du produit scalaire

Propriété

Pour tous vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) ,  \(\overrightarrow{v}\) ,  \(\overrightarrow{w}\) de l'espace et tout réel \(a\) , on a :

• \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}\)  (symétrie)
  
• \(\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{u}\cdot (a\overrightarrow{v}) = a (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})\)  (bilinéarité)
  
• \((\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2\)
  
• \((\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2\)
  
• \((\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}^2 - \overrightarrow{v}^2\)

Propriété   Formules de polarisation

Pour tous vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) de l'espace, on a :

• \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right)\)
  
• \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}||^2\right)\)
  
• \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 14\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2\right)\)
  

Démonstration

Soit \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de l'espace. On a :

• \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\)
  \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}\)
  \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ ||\overrightarrow{v}||^2\)
  D'où :  \(2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\) .
• En développant de la même façon, on a :  \(||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}||^2 = ||\overrightarrow{v}||^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{u}||^2\) .
  D'où :  \(2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{v}||^2 + ||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}||^2\) .
• \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+ ||\overrightarrow{v}||^2\)  et  \(||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2\) .
  On soustrait membre à membre ces deux égalités.

Remarque

Dans un triangle \(\text A\text B\text C\) , si on connaît les longueurs des trois côtés, on peut calculer le produit scalaire entre deux vecteurs issus d'un même sommet :  \(\boxed{\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C} = \dfrac12\left(\text A\text B^2+\text A\text C^2-\text B\text C^2\right)}\) .